বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ:
(1) $x^2 + y^2 + 2x + 3y + 11 = 0$
(2) $x^2 + y^2 + 4x + 3y + 12 = 0$

সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ: (1) - (2)
$(x^2 + y^2 + 2x + 3y + 11) - (x^2 + y^2 + 4x + 3y + 12) = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 3y + 11 - x^2 - y^2 - 4x - 3y - 12 = 0$
$-2x - 1 = 0$
$2x + 1 = 0$

কেন্দ্র (2, 4)
X-অক্ষ স্পর্শ করলে ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রের y-স্থানাঙ্ক = 4

বৃত্তের সমীকরণ:
(x - 2)² + (y - 4)² = 4²
x² - 4x + 4 + y² - 8y + 16 = 16
x² + y² - 4x - 8y + 20 = 16
x² + y² - 4x - 8y + 4 = 0

পোলার থেকে কার্তেসীয় রূপান্তর:
r = a sin θ

উভয় পক্ষকে r দ্বারা গুণ:
r² = a r sin θ

কার্তেসীয় সম্পর্ক ব্যবহার:
r² = x² + y²
r sin θ = y

∴ x² + y² = a y
⇒ x² + y² - a y = 0

$A_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$
$A_{12} = -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} = -(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31})$
$A_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}$

প্রদত্ত রাশি :
$a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13}$
$= a_{21}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) + a_{22}\left[-(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31})\right] + a_{23}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$
$= a_{21}a_{22}a_{33} - a_{21}a_{23}a_{32} - a_{22}a_{21}a_{33} + a_{22}a_{23}a_{31} + a_{23}a_{21}a_{32} - a_{23}a_{22}a_{31}$

$= \cancel{a_{21}a_{22}a_{33}} - a_{21}a_{23}a_{32} - \cancel{a_{22}a_{21}a_{33}} + a_{22}a_{23}a_{31} + a_{23}a_{21}a_{32} - a_{23}a_{22}a_{31}$
$= -a_{21}a_{23}a_{32} + a_{22}a_{23}a_{31} + a_{21}a_{23}a_{32} - a_{22}a_{23}a_{31}$
$= 0$

যেহেতু (1,1) বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, তাই এটি সমীকরণটি সিদ্ধ করবে:
x² + y² + 8x - c = 0
(1)² + (1)² + 8(1) - c = 0
1 + 1 + 8 - c = 0
10 - c = 0
c = 10

পোলার সমীকরণ: $r^2 - 2r \sin \theta = 3$
কার্তেসীয় রূপান্তর:
$r^2 = x^2 + y^2$
$r \sin \theta = y$
∴ $x^2 + y^2 - 2y = 3$
⇒ $x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0$

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
এখানে: $2g = 0 ⇒ g = 0$, $2f = -2 ⇒ f = -1$, $c = -3$

ব্যাসার্ধ: $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$
$= \sqrt{0^2 + (-1)^2 - (-3)}$
$= \sqrt{1 + 3}$
$= \sqrt{4} = 2$

$C_1' = C_1 + C_2 + C_3 ;;\Rightarrow;; \begin{bmatrix}1+\omega+\omega^2\\omega+\omega^2+1\\omega^2+1+\omega\end{bmatrix}$

যেহেতু $\omega$ একক ঘনমূল এবং $1+\omega+\omega^2=0$, প্রথম কলাম শূন্য ⇒ নির্ণায়ক $=0$.

ধাপ-১: বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ
∵ কেন্দ্র x-অক্ষের উপর, ∴ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (a,0)
সমীকরণ: (x - a)² + y² = r²
প্রসারণ করে: x² + y² - 2ax + (a² - r²) = 0
একে x² + y² + 2gx + c = 0 আকারে লিখলে, g = -a এবং c = a² - r²

ধাপ-২: বিন্দুগুলি বসিয়ে সমীকরণ
(3,5) এর জন্য: 3² + 5² + 2g(3) + c = 0 ⇒ 9 + 25 + 6g + c = 0 ⇒ 6g + c = -34 ...(i)
(6,4) এর জন্য: 6² + 4² + 2g(6) + c = 0 ⇒ 36 + 16 + 12g + c = 0 ⇒ 12g + c = -52 ...(ii)

ধাপ-৩: সমীকরণ সমাধান
(ii) - (i): 6g = -18 ⇒ g = -3
(i) থেকে: 6(-3) + c = -34 ⇒ c = -16

∴ সমীকরণ: x² + y² + 2(-3)x - 16 =

ধাপ-১: ব্যাসদ্বয়ের ছেদবিন্দু কেন্দ্র
সমীকরণ:
2x - 3y = 5 ...(i)
3x - 4y = 7 ...(ii)
(i) × 3: 6x - 9y = 15
(ii) × 2: 6x - 8y = 14
বিয়োগ করে: -y = 1 ⇒ y = -1
(i) এ বসিয়ে: 2x - 3(-1) = 5 ⇒ 2x + 3 = 5 ⇒ x = 1
∴ কেন্দ্র (1, -1)

ধাপ-২: ব্যাসার্ধ নির্ণয়
ক্ষেত্রফল = πr² = 154
⇒ r² = 154/π = 154/(22/7) = 49
⇒ r = 7

ধাপ-৩: বৃত্তের সমীকরণ
(x - 1)² + (y + 1)² = 7²
⇒ x² - 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 49
⇒ x² + y² - 2x + 2y + 2 = 49
⇒ x² + y² - 2x + 2y = 47

0
অর্থাৎ x² + y² - 6x - 16 = 0

বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্র:
C₁ = (2, 3), ব্যাসার্ধ r₁ = 4
C₂ = (2, 10), ব্যাসার্ধ r₂ = 3

কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব:
d = √[(2-2)² + (10-3)²] = 7
যেহেতু d = r₁ + r₂ = 4 + 3 = 7, তাই বৃত্তদ্বয় বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।

স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখায় অবস্থিত।
C₁ থেকে C₂ এর দিকে r₁ : r₂ = 4 : 3 অনুপাতে বিভক্ত করে স্পর্শবিন্দু পাওয়া যায়।

স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
x = (4×2 + 3×2)/(4+3) = (8+6)/7 = 14/7 = 2
y = (4×10 + 3×3)/(4+3) = (40+9)/7 = 49/7 = 7

∴ স্পর্শবিন্দু (2, 7)

$A \cdot A^{-1} = I$ (ম্যাট্রিক্স অভেদক)
$\begin{bmatrix} 2 & x \\ 0 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

নিচের ডান কোণের উপাদান: $(0 \cdot 0) + (x \cdot 2) = 2x$
অভেদক ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ উপাদান $1$ হওয়া আবশ্যক:
$2x = 1$

=> $x = \dfrac{1}{2}$

ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি নির্ণায়কের মান শূন্য হয়:
$\det = \begin{vmatrix} 2-x & 13 \\ 5 & 10-x \end{vmatrix} = 0$

$(2-x)(10-x) - (13 \times 5) = 0$
$x^2 - 12x - 45 = 0$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 180}}{2} = \frac{12 \pm 18}{2}$
$x = 15$ বা $x = -3$

$0$ উপাদানটির অবস্থান: তৃতীয় সারি, দ্বিতীয় কলাম $(i=3, j=2)$
সহগুণকের সূত্র : $C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$
এখানে $C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot M_{32} = (-1)^5 \cdot M_{32} = -M_{32}$

তৃতীয় সারি ও দ্বিতীয় কলাম অপসারণ করে প্রাপ্ত সাবম্যাট্রিক্স:
$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$
$M_{32} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (5)(4) = -4 - 20 = -24$

সহগুণক :
$C_{32} = -(-24) = 24$

বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
এখানে: 2g = 2 ⇒ g = 1, 2f = 4 ⇒ f = 2, c = -1

y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য:
= 2√(f² - c)
= 2√(2² - (-1))
= 2√(4 + 1)
= 2√5

ম্যাট্রিক্সের সমতা থেকে:
- $x = 3$

$3x + y = 9$
- $3(3) + y = 9 \Rightarrow y = 0$

প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের শর্ত  $A^T = A$
- ট্রান্সপোজ: $\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$
∴ এটি প্রতিসম

ধাপ-১: বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ
∵ কেন্দ্র x-অক্ষের উপর, ∴ কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (a,0)
সমীকরণ: (x - a)² + y² = r²
প্রসারণ করে: x² + y² - 2ax + (a² - r²) = 0
একে x² + y² + 2gx + c = 0 আকারে লিখলে, g = -a এবং c = a² - r²

ধাপ-২: বিন্দুগুলি বসিয়ে সমীকরণ
(3,5) এর জন্য: 3² + 5² + 2g(3) + c = 0 ⇒ 9 + 25 + 6g + c = 0 ⇒ 6g + c = -34 ...(i)
(6,4) এর জন্য: 6² + 4² + 2g(6) + c = 0 ⇒ 36 + 16 + 12g + c = 0 ⇒ 12g + c = -52 ...(ii)

ধাপ-৩: সমীকরণ সমাধান
(ii) - (i): 6g = -18 ⇒ g = -3
(i) থেকে: 6(-3) + c = -34 ⇒ c = -16

∴ সমীকরণ: x² + y² + 2(-3)x - 16 = 0
অর্থাৎ x² + y² - 6x - 16 = 0

$A$ ও $B$ প্রতিসম → $A^T = A$ এবং $B^T = B$
$(AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = BA - AB$
$(AB - BA)^T = -(AB - BA)$
$\therefore AB - BA$ একটি **বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স** (∵ $M^T = -M$)

A ম্যাট্রিক্সের মাত্রা $m\times p$

B ম্যাট্রিক্সের মাত্রা $q\times n$

$\therefore AB$ নির্ণয় সম্ভব হবে যখন $p=q$ হবে

কলাম অপারেশন :
$C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ এবং $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ প্রয়োগ করে:
$\begin{vmatrix} \log\left(\frac{x}{y}\right) & \log\left(\frac{y}{z}\right) & \log z \\ \log\left(\frac{2x}{2y}\right) & \log\left(\frac{2y}{2z}\right) & \log 2z \\ \log\left(\frac{3x}{3y}\right) & \log\left(\frac{3y}{3z}\right) & \log 3z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \log\left(\frac{x}{y}\right) & \log\left(\frac{y}{z}\right) & \log z \\ \log\left(\frac{x}{y}\right) & \log\left(\frac{y}{z}\right) & \log 2z \\ \log\left(\frac{x}{y}\right) & \log\left(\frac{y}{z}\right) & \log 3z \end{vmatrix}$

প্রথম ও দ্বিতীয় কলাম অভিন্ন ($\because \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$), তাই নির্ণায়কের মান শূন্য।

বৃত্ত: x² + y² = 16 ⇒ ব্যাসার্ধ a = 4
স্পর্শকের ঢাল: m = tan 30° = 1/√3

স্পর্শকের সমীকরণ: y = m x ± a √(1 + m²)
মান বসিয়ে:
y = (1/√3)x ± 4 √(1 + (1/√3)²)
= (1/√3)x ± 4 √(1 + 1/3)
= (1/√3)x ± 4 √(4/3)
= (1/√3)x ± 4 × (2/√3)
= (1/√3)x ± (8/√3)

উভয় পক্ষকে √3 দ্বারা গুণ:
√3 y = x ± 8

$a=1, b=2, c=3$ বসিয়ে নির্ণায়কটির মান নির্ণয়:
$\begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 5(4\cdot3-2\cdot3) -1(2\cdot3-2\cdot3) +1(2\cdot3-4\cdot3) = 5(12-6) -0 +1(6-12) = 30 -6 = 24$
∴ $24 = 4 \times 1 \times 2 \times 3 = 4abc$

কেন্দ্র (4, 3)
স্পর্শক রেখা: 5x - 12y + 3 = 0

ব্যাসার্ধ = কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব
$r = \frac{|5(4) - 12(3) + 3|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 36 + 3|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{13}{13} = 1$

বৃত্তের সমীকরণ:
$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 1^2$
$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 1$
$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 25 = 1$
$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0$

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

$\begin{vmatrix} 3 & x \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (3)(1) - (x)(2) = 3 - 2x$

3. সমীকরণ:
$3 - 2x = -1$
$-2x = -4$
$x = 2$

বৃত্ত: $x^2 + y^2 = 9$ ⇒ ব্যাসার্ধ $a = 3$
স্পর্শকের ঢাল: $m = \tan 45^\circ = 1$

স্পর্শকের সমীকরণ: $y = m x \pm a \sqrt{1 + m^2}$
মান বসিয়ে:
$y = 1 \cdot x \pm 3 \sqrt{1 + 1^2}$
$y = x \pm 3 \sqrt{2}$

সমীকরণকে প্রমিত রূপে লিখ:
$x - y \pm 3\sqrt{2} = 0$

কর্ণ ম্যাট্রিক্স $D = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$ হলে $|D| = a \cdot b \cdot c = 20$।
$2D = \begin{bmatrix} 2a & 0 & 0 \\ 0 & 2b & 0 \\ 0 & 0 & 2c \end{bmatrix}$
$|2D| = (2a) \cdot (2b) \cdot (2c) = 8abc = 8 \times 20 = 160$।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক: $|(2D)^{-1}| = \frac{1}{|2D|} = \frac{1}{160}$।

বৃত্ত: x² + y² - 8x - 2y + 4 = 0
কেন্দ্র (h,k) = (4,1), ব্যাসার্ধ r = √(4² + 1² - 4) = √(16+1-4)=√13

রেখা: 3x + ky - 1 = 0
রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করলে কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব = ব্যাসার্ধ

দূরত্বের সূত্র:
|3(4) + k(1) - 1| / √(3² + k²) = √13
|12 + k - 1| / √(9 + k²) = √13
|k + 11| / √(9 + k²) = √13

উভয় পক্ষকে বর্গ করে:
(k + 11)² / (9 + k²) = 13
k² + 22k + 121 = 13(9 + k²)
k² + 22k + 121 = 117 + 13k²
12k² - 22k - 4 = 0
6k² - 11k - 2 = 0
(6k + 1)(k - 2) = 0
k = -1/6 বা k = 2

ধরি, কেন্দ্র (h, k)
যেহেতু বৃত্ত y-অক্ষ স্পর্শ করে, তাই ব্যাসার্ধ r = |h|
বৃত্তটি (3,0) ও (7,0) বিন্দু দিয়ে যায়:
(3 - h)² + (0 - k)² = r² = h² ...(i)
(7 - h)² + (0 - k)² = h² ...(ii)

(ii) - (i):
(7 - h)² - (3 - h)² = 0
⇒ [(7 - h) - (3 - h)][(7 - h) + (3 - h)] = 0
⇒ (4)(10 - 2h) = 0
⇒ 10 - 2h = 0 ⇒ h = 5

(i) থেকে:
(3 - 5)² + k² = 5²
4 + k² = 25 ⇒ k² = 21 ⇒ k = ±√21

∴ কেন্দ্র (5, ±√21)

ম্যাট্রিক্স গুণনের বিপরীতের সূত্র :
যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স $M$ ও $N$-এর জন্য, $(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$

$M = N$ হলেও, সূত্র অপরিবর্তিত থাকে।

$(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$

প্রথম বৃত্ত: $x^2 + y^2 = p^2$
- কেন্দ্র $C_1 = (0, 0)$
- ব্যাসার্ধ $r_1 = p$

দ্বিতীয় বৃত্ত: $x^2 + y^2 - 8y - 9 = 0$
- পূর্ণবর্গ করে: $x^2 + (y^2 - 8y + 16) = 9 + 16$
- ⇒ $x^2 + (y - 4)^2 = 25$
- কেন্দ্র $C_2 = (0, 4)$
- ব্যাসার্ধ $r_2 = 5$

অন্তঃস্থ স্পর্শের শর্ত:
$C_1 C_2 = |r_2 - r_1|$
$C_1 C_2 = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = 4$
∴ $4 = |5 - p|$
⇒ $5 - p = \pm 4$
Case 1: $5 - p = 4$ ⇒ $p = 1$
Case 2: $5 - p = -4$ ⇒ $p = 9$

উত্তর: $p = 1$ (যেহেতু $p = 9$ বহিঃস্থ স্পর্শ করে)